<괴델, 에셔, 바흐> 제1부 : GEB - 서론 (1) page ~ 19

본 포스트의 내용은 괴델, 에셔, 바흐를 읽으며 기록한 것으로, 직접 인용하거나 요약한 내용임을 밝힙니다.

서론 : 음악-논리학의 헌정(A musico-logical offering) (1)

[책의 구성] 으로부터

바흐 음악의 헌정 : 자기-지시 (self-reference)와 다른 층위들 사이의 상호작용 → 에셔의 그림과 괴델의 정리에서 비슷한 아이디어를 논의 괴델의 정리에 대한 배경 : 논리학, 모순의 역사 → 기계적인 추론, 컴퓨터, 인공지능이 가능한가 왜 대화를 도입했는가.

프리드리히 대왕은 지적, 정서적 삶에도 열의를 쏟았다 (대표적 계몽군주)

음악에 진정한 애정을 가지고 있었는데 J. S. 바흐의 예찬자이기도 했다.

아들 바흐(카를 필리프 에마누엘 바흐)가 궁정음악장으로 일하던 중, 아버지 바흐(J. S. 바흐)가 궁정에 초대받아 방문하고, 즉흥연주를 한다. 후에 대왕이 하사한 주제 “음악의 헌정 (Musical Offering)”을 완성한다.

음악의 헌정 악보 첫 장에는 다음과 같은 문구가 있다

Regis Iusfu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Refotula

전하의 분부대로 성악과 그 이외의 것은 모두 카논 기법으로 해결했습니다.

여기서 canonica는 “카논 기법으로”라는 뜻 뿐만 아니라 “가장 좋은 방법(canon)으로”라는 중의적 의미를 가진다.

이 문장의 첫 글자를 따면 “R I C E R C A R”가 되고, 이는 찾는다는 뜻을 가진다. 또한 음악의 헌정에 포함된 두 개의 푸가를 “Ricercar”라고 부르기도 하는데, 이는 오늘날 푸가라고 부르는 음악 형식의 원래 이름이다.

음악의 헌정에는 10개의 카논이 포함되어 있다.

카논과 푸가

카논의 기본원리는 하나의 주제를 스스로에게 다시 적용하는 것. 이때 모방을 통해 반복을 수행한다. 모방은 단축, 확대, 전회 등의 기법을 사용하여 이뤄진다. 그런데, 주제에 어떤 유형의 “모방”을 거치든 원래의 주제를 완전히 재구성할 수 있다. 즉, 원래 주제의 정보를 보존한다. 이러한 정보-보존 변형을 동형성(isomorphism)이라고 하는데, 이 책에서 우리는 동형성을 자주 마주한다.

게 카논은 역행을 사용하여 주제를 모방한다. 게 카논의 뫼비우스 띠…

무한히 상승하는 카논

“전조를 통한 카논(Canon per Tonos)”은 3성 카논으로, C단조에서 출발해 끝날 때에 D단조로 끝난다. 이를 반복하면 C minor → D minor → E minor → F# minor → G# minor → A# minor → C minor와 같이 본래의 조로 돌아오게 된다.

“전조가 상승할수록 전하의 영광 또한 높아지리라!” - J. S. Bach -

이 카논에서 우리는 이상한 고리(strange loop) 개념을 찾아볼 수 있다. “이상한 고리”는 위계체계의 층위에서 위(또는 아래)로 움직이다가 예기치 못하게 출발점에 돌아와 있는 것을 발견할 때마다 발생한다. 이상한 고리가 발생하는 체계를 기술하기 위해, 뒤엉킨 계층질서 (Tangled Hierarchy)라는 용어를 사용한다.

에셔

에셔의 그림에서는 이상한 고리의 개념을 시각적으로 확인할 수 있다.

폭포

폭포 : 6개 층위의 상승을 통해 이상한 고리가 발생

 

 

올라가기와 내려가기

올라가기와 내려가기 : 45개 층위의 (또는 4개; 모호함이 있다) 상승(하강)을 통해 이상한 고리가 발생

 

층위의 개수가 많아지면 느슨한 고리이다. 이러한 고리를 팽팽하게 당기면 “손을 그리는 손”과 같이 된다.

손을 그리는 손

 

 

이상한 고리의 개념에는 무한성의 개념이 함축되어 있다. 유한한 수단으로 무한한 과정을 표현하는 방법이 고리 말고 어떤 것이 있는가?

층위의 개수나 층위의 시작 지점은 모호할 수 있으나, 최소 두 개의 층위가 존재한다는 사실만으로도 감상자는 스스로를 또다른 층위의 일부분으로 파악하도록 유도된다. 감상자는 이를 통해 에셔가 의도한 층위의 사슬에 연계된다. (에셔의 회랑은 가장 팽팽한 고리로 설명에 따르면 한 층위로 구성된 것 같은데 명확히 이해되지는 않는다.)